已知橢圓C:的離心率等于
,點P
在橢圓上。
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的左右頂點分別為
,過點
的動直線
與橢圓
相交于
兩點,是否存在定直線
:
,使得
與
的交點
總在直線
上?若存在,求出一個滿足條件的
值;若不存在,說明理由.
(1);(2)存在,
.
【解析】
試題分析:(1)由,點
代入橢圓方程,二者聯(lián)立可以解出
;(2)以
的存在性分兩種情況:①
不存在,直線
:
,易證符合題意;②
存在時,設直線
:
,用直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組,消參得一元二次方程,利用韋達定理得,
,又因為
共線,有
,由
得
,得出
,由于
成立,所以點
在直線
上,綜上:存在定直線
:
,使得
與
的交點
總在直線
上,
的值是
.
試題解析:(1)由,
2分
又點在橢圓上,
,
4分
所以橢圓方程是:;
5分
(2)當垂直
軸時,
,則
的方程是:
,
的方程是:
,交點
的坐標是:
,猜測:存在常數(shù)
,
即直線的方程是:
使得
與
的交點
總在直線
上, 6分
證明:設的方程是
,點
,
將的方程代入橢圓
的方程得到:
,
即:,
7分
從而:,
8分
因為:,
共線
所以:,
,
9分
又,
要證明共線,即要證明
, 10分
即證明:,
即:,
即:
因為:成立, 12分
所以點在直線
上。
綜上:存在定直線:
,使得
與
的交點
總在直線
上,
的值是
. 13分
考點:1.橢圓的離心率;2.韋達定理;3.分類討論法解題.
科目:高中數(shù)學 來源:2009年廣東省廣州市高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年重慶市七區(qū)高三第一次調(diào)研測試數(shù)學理卷 題型:選擇題
已知橢圓C:的離心率為
,過右焦點
且斜率為
的直線與橢圓C相交于
、
兩點.若
,則
=( )
A.
B.
C.2
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆廣東省高二第一學期期末考試文科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓C:,它的離心率為
.直線
與以原點為圓心,以C的短半軸為半徑的圓O相切. 求橢圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年吉林一中高二下學期第一次月考數(shù)學文卷 題型:解答題
.已知橢圓C:的離心率為
,橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線:
與橢圓C交于
,
兩點,點
,且
,求直線
的方程.
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