Question

已知函數y=f（x）定義在實數集上，且對任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），又對任意的x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）判斷函數y=f（x）的奇偶性．
（2）證明函數y=f（x）在R上為單調減函數．
（3）試求函數y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過賦值法，求出f（0）=0，然后利用奇偶性的定義，判斷函數y=f（x）的奇偶性．
（2）先根據f（x+y）=f（x）+f（y），再結合x＞1時，f（x）＜0，以及單調性的定義即可得到答案；
（3）通過（2）結合函數的單調性，直接求解函數y=f（x）在[m，n]（m，n∈Z，且mn＜0）上的值域．

解答： 解：（1）令x=0，∴f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x），∴f（x）=-f（-x），∴函數是奇函數．
（2）對任意的x＞0，都有f（x）＜0，
令x₂=x+y，x₁=y∈R，則x₂＞x₁，
∴f（x+y）=f（x）+f（y），化為f（x₂）=f（x）+f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函數y=f（x）在R上為單調減函數．
（3）已知條件可知：f（n）=nf（1），f（1）=-1，f（m）=-m，f（n）=-n，函數是單調減函數，
函數的值域：[-n，-m]．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，屬于較高難度的題目．