Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（3）當a∈（-∞，0）時，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1，（x＞0），由題意得：f′（1）=-2，解方程求出即可；
（2）求出f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

，（x＞0），討論①a＞0時，②a＜0時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）得，當a∈（-∞，0）時，函數(shù)f（x）的最小值為f（-2a），故g（a）=f（-2a），得g′（a）=ln（-2a）-2，得g（a）在（-∞，-

1

2

e²）遞增，在（-

1

2

e²，0）遞減，從而g（a）_最大值=

1

2

e²，進而求出g（a）的最大值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1，（x＞0），
由題意得：f′（1）=-2，即2a²-a-3=0，
解得：a=-1或a=

3

2

，
（2）f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

，（x＞0），
①a＞0時，由f′（x）＞0及x＞0得x＞a，
由f′（x）＜0及x＞0得0＜x＜a，
∴a＞0時，f（x）在（a，+∞）遞增，在（0，a）遞減，
②a＜0時，由f′（x）＞0及x＞0得x＞-2a，
由f′（x）＜0及x＞0得0＜x＜-2a，
∴a＜0時，f（x）在（0，-2a）遞減，在（-2a，+∞）遞增；
（3）由（2）得，當a∈（-∞，0）時，函數(shù)f（x）的最小值為f（-2a），
故g（a）=f（-2a）=aln（-2a）=aln（-2a）-3a，
g′（a）=ln（-2a）-2，
令g′（a）＞0，解得a＜-

1

2

e²，
令g′（a）＜0，解得：-

1

2

e²＜a＜0，
∴g（a）在（-∞，-

1

2

e²）遞增，在（-

1

2

e²，0）遞減，
∴g（a）_最大值=

1

2

e²，
即a∈（-∞，0）時，g（a）≤

1

2

e²．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，切線的方程，是一道綜合題．