Question

已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的內(nèi)接圓（點(diǎn)C為圓心）
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M的方程為（x-4-7cosθ）²+（y-7cosθ）²=1，過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求

CE

•

CF

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出A、B的坐標(biāo)（正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=2x上），根據(jù)△ABO邊長相等，求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再求圓心和半徑，進(jìn)而求可得圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出∠ECF=2α，表示出數(shù)量積，數(shù)量積中有cosα，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，確定|PC|的范圍，可求出數(shù)量積的最值．

解答：解：（Ⅰ）解法一：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(

y 2 1

2

，y1)，(

y 2 2

2

，y2)，
由題設(shè)知

( y 2 1 2 )2+ y 2 2

=

( y12 2 )2+ y 2 2

=

( y 2 1 2 - y 2 2 2 )2+(y1-y2)2

解得y₁²=y₂²=12，
所以A(6，2

3

)，B(6，-2

3

)或A(6，-2

3

)，B(6，2

3

)．
設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r，0），則r=

2

3

×6=4，
所以圓C的方程為（x-4）²+y²=16．
解法二：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），由題設(shè)知x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
又因?yàn)閥₁²=2x₁，y₂²=2x₂，可得x₁²+2x₁=x₂²+2x₂．即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）=0
由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圓心C在x軸上
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（r，0），則A點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

4

r，

3

2

r)，于是有(

3

2

r)2=2×

3

2

r，
解得r=4，
所以圓C的方程為（x-4）²+y²=16．
（Ⅱ）解：設(shè)∠ECF=2α，則

CE

•

CF

=|

CE

|•|

CF

|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=

x

|PC|

=

4

|PC|

，由圓的幾何性質(zhì)得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，
所以

1

2

≤cosα≤

2

3

，由此可得-8≤

CE

•

CF

≤-

16

9

．
則

CE

•

CF

的最大值為-

16

9

，最小值為-8．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力．