Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，， 平面，，，，，且是的中點.

  （Ⅰ）求證：平面；

  （Ⅱ）求二面角的大��；

  （Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

證明：（Ⅰ）取的中點，連接.

在△中，是的中點，是的中點，所以，

   又因為，

  所以且.

所以四邊形為平行四邊形，

所以.

又因為平面，平面，

 故平面.                                      …………… 4分

解法二：因為平面，，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.            ……………1分                                             

由已知可得

（Ⅰ），  .       ……………2分

設平面的一個法向量是.

  由得  

令，則.                                ……………3分

又因為，

  所以，又平面，所以平面.       ……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個法向量是.

    因為平面，所以.

        又因為，所以平面.

     故是平面的一個法向量.

      所以，又二面角為銳角，

      故二面角的大小為.                            ……………10分

 （Ⅲ）假設在線段上存在一點，使得與所成的角為.

      不妨設（），則.

   所以，

   由題意得，

    化簡得，

         解得.

        所以在線段上不存在點，使得與所成的角為.…………14分

【解析】略