Question

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，M為橢圓上任意一點，過F，B，A三點的圓的圓心坐標為(p，q)．

(1)當p＋q≤0時，求橢圓的離心率的取值范圍；

(2)若點D(b＋1,0)，在(1)的條件下，當橢圓的離心率最小時，的最小值為，求橢圓的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)半焦距為c.

由題意知，AF，AB的中垂線方程分別為，

整理，得ab－bc＋b²－ac≤0，

即(a＋b)(b－c)≤0，

所以b≤c，于是b²≤c²，即a²＝b²＋c²≤2c².

所以e²＝≥，即≤e<1.

故橢圓的離心率的取值范圍為

(2)當e＝時，a＝b＝c，此時橢圓的方程為＋＝1，

設(shè)M(x，y)，則－c≤x≤c，

所以＝x²－x＋c²＝(x－1)²＋c²－.

當c≥時，上式的最小值為c²－，

即c²－＝，解得c＝2；

當0<c<時，上式的最小值為(c)²－c＋c²，

即(c)²－c＋c²＝，解得c＝，不合題意，舍去．

綜上所述，橢圓的方程為＋＝1.