解:(Ⅰ)如圖,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d61e3688d7e.png)
由題意得F
2(1,0),F(xiàn)
1(-1,0),設(shè)P(x
0,y
0),則Q(x
0,-y
0),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224663.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224664.png)
.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224661.png)
,
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224665.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224666.png)
①
又P(x
0,y
0)在拋物線上,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224667.png)
②
聯(lián)立①、②得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224668.png)
,解得:x
0=2.
所以點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x
0=2.
(Ⅱ)(ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意得c=1,
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46.png)
,
因橢圓C過點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/97083.png)
,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224669.png)
③
又a
2=b
2+1 ④
將④代入③,解得b
2=1或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224670.png)
(舍去)
所以a
2=b
2+1=2.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/637.png)
.
(ⅱ)1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,即λ=-1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224671.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129392.png)
,
又T(2,0),所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224672.png)
;
2)當(dāng)直線l的斜率存在時,即λ∈[-2,-1)時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1).
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224673.png)
,得(1+2k
2)x
2-4k
2x+2k
2-2=0
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),顯然y
1≠0,y
2≠0,則由根與系數(shù)的關(guān)系,
可得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/126348.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224674.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224675.png)
⑤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224676.png)
⑥
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122131.png' />,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224677.png)
,且λ<0.
將⑤式平方除以⑥式得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224678.png)
由λ∈[-2,-1),得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224679.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224680.png)
.
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224681.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224682.png)
.
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122142.png' />,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122143.png)
,
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224683.png)
,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224684.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224685.png)
.
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224686.png)
,因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224682.png' />,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224687.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224688.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224689.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224690.png)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224691.png)
綜上所述:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122154.png)
.
分析:(Ⅰ)由題意得到F
1和F
2的坐標(biāo),設(shè)出P,Q的坐標(biāo),然后直接利用
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224661.png)
進(jìn)行求解;
(Ⅱ)①設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,利用橢圓過點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/97083.png)
,結(jié)合a
2=b
2+1 即可求得a
2,b
2的值,則橢圓方程可求;
②當(dāng)直線斜率不存在時,直接求解A,B的坐標(biāo)得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122132.png)
的值,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)出直線方程,和橢圓方程聯(lián)立后,利用
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122131.png)
,消掉點(diǎn)的坐標(biāo)得到λ與k的關(guān)系,根據(jù)λ的范圍求k的范圍,然后把
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122132.png)
轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式,最后利用基本不等式求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/122132.png)
的取值范圍.
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了分類討論的數(shù)學(xué)解題思想,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是難度較大的題目.