Question

已知直線(xiàn)l：2x-y+1=0與曲線(xiàn)C：y=mx²
（1）若只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

10

，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由

2x-y+1=0 y=mx2

，得：mx²-2x-1=0，由此利用分類(lèi)討論思想能求出實(shí)數(shù)m的值．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得

m≠0 △=4+4m＞0 x1+x2=- 2 m x1x2=- 1 m

，再由弦長(zhǎng)公式能求出實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）由

2x-y+1=0 y=mx2

，消y，得：mx²-2x-1=0，
∵直線(xiàn)l：2x-y+1=0與曲線(xiàn)C：y=mx²只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴m=0或

m≠0 △=4+4m=0

，
解得m=0或m=-1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

2x-y+1=0 y=mx2

，消y，得：mx²-2x-1=0，
∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

10

，
∴

m≠0 △=4+4m＞0 x1+x2=- 2 m x1x2=- 1 m

，
|AB|=

1+4

|x1-x2|=

5

4+4m

|m|

=2

10

，
∴2m²-m-1=0，整理，得（m-1）（2m+1）=0，
解得m=1或m=-

1

4

，
∵m∈（-1，0）∪（0，+∞），
∴m=1或m=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．