如圖，四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，側(cè)棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面積等于6，若平面DPA與平面CPB所成的二面角為α，求α．

答案：
解析：

　　解：延長(zhǎng)DA交CB的延長(zhǎng)線于E，連PE，則PE就是平面DPA和平面CPB的交線．

　　∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD．

　　∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE．

　　作CF⊥PE于F，連DF由三垂線定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α．

　　∵AB＝CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4．

　　SΔPAB＝6，∴AB＝3，CD＝6，＝＝．

　　∴EB＝3，PE＝5．

　　∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝．

　　在直角ΔDCF中，tanα＝＝＝．

　　α＝antan．

　　評(píng)析：這是一道較難的題，難就難在怎么確定兩相交平面的交線．由公理二交線的唯一性必須找出另一個(gè)公共點(diǎn)，因此本題延長(zhǎng)DA、CB相交于E，確定這個(gè)E點(diǎn)就成了關(guān)鍵．


提示：

平面DPA與平面CPB有一公共點(diǎn)P，要畫(huà)出它們構(gòu)成的二面角的平面角必須確定它們公共交線，DA和CB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)E是它們的另一公共點(diǎn)．由公理二，PE就是二面角的公共棱．有了公共棱，二面角的平面角就生了根．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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