Question

【題目】已知分別為橢圓右頂點和上頂點，且直線的斜率為，右焦點到直線的距離為．

求橢圓的方程；

若直線 與橢圓交于兩點，且直線的斜率之和為1，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

先由直線AB的斜率得出，于是得出，再由點F到直線AB的距離，得出b的值，從而可求出a的值，從而可寫出橢圓C的方程；設點、，將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，列出韋達定理，由直線BM、BN的斜率之和為1，結合韋達定理得出k與m所滿足的關系式，結合m的范圍，可得出k的范圍，再由，得出k的另一個范圍，兩者取交集可得出實數k的取值范圍．

，，則，直線AB：，

，，．

因此，橢圓C的方程為；

設點、，

將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，消去y并整理得，

，由韋達定理得，．

，

，

，，

又，

，綜上所述，．

因此，實數k的取值范圍是．