已知函數(shù)f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲線y=f(x)在點(t,f(t))處的切線與x軸和y軸分別交于A、B兩點,設(shè)O為坐標(biāo)原點,求△AOB面積的最大值.
【答案】
分析:由f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),把x=t代入導(dǎo)函數(shù)即可求出切線的斜率,把t代入f(x)即可求出切點的縱坐標(biāo),根據(jù)切點的坐標(biāo)和斜率表示出切線的方程,然后令y=0得到點A的橫坐標(biāo),令x=0得到點B的縱坐標(biāo),根據(jù)t的范圍得到求出的A的橫坐標(biāo)和B的縱坐標(biāo)都大于0,然后利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積S,得到S與t的函數(shù)關(guān)系式,求出S的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0,得到函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到S的最大值.
解答:解:由已知
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,
所以曲線y=f(x)在點(t,f(t))處的切線方程為
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.
令y=0,得A點的橫坐標(biāo)為x
A=t(1-lnt),
令x=0,得B點的縱坐標(biāo)為y
B=1-lnt,
當(dāng)t∈(0,e)時,x
A>0,y
B>0,
此時△AOB的面積
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,
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,
解S'>0,得
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;解S'<0,得
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.
所以
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是函數(shù)
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的增區(qū)間;
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是函數(shù)的減區(qū)間.
所以,當(dāng)
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時,△AOB的面積最大,最大值為
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點評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值,是一道中檔題.