定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,x＞-2,n∈N*.

(1)求證：fn(x)≥nx.

(2)是否存在區(qū)間［a,0］(a＜0),使函數(shù)n(x)=f3(x)-f2(x)在區(qū)間［a,0］上的值域為［ka,0］?若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間［a,0］;若不存在，說明理由.

解：（1）證明：fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx,

    令g(x)=(1+x)n-1-nx,則g′(x)=n［(1+x)n-1-1］,

    當(dāng)x∈(-2,0)時，g′(x)＜0;

    當(dāng)x∈(0,+∞)時,g′x＞0.

∴g(x)在x=0處取得極小值g(0)=0,同時g(x)是學(xué)峰函數(shù)，則g(0)也是最小值，∴g(x)≥0.

    即fn(x)≥nx(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號).

（2）h(x)=f3(x)=f2(x)=x(1+x)2,

h′(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x),

    令h′(x)=0,得x=-1,x=-∴當(dāng)x∈(-2,-1)時，h′(x)＞0；當(dāng)x∈(-1,-)時，h′(x)＜0;

    當(dāng)x∈(-,+∞)時，h′(x)＞0,故h(x)的草圖如圖所示：

①在-≤a＜0時，h(x)最小值h(a)=ka.∴k=(1+a)2≥,

②在-≤a≤-時,h(x)最小值=h(-)=-=ka,k=-,≤k≤;

③在a≤-時,h(x)最小值=h(a)=a(1+a)2=ka,k=(1+a)2≥,a=-取等號.

    綜上k的最小值為,此時［a,0］=［-,0］.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

假設(shè)實數(shù)a1，a2，a3，a4是一個等差數(shù)列﹐且滿足0＜a1＜2及a3=4，若定義函數(shù)fn(x)=anx，其中n=1，2，3，4，則下列命題中錯誤的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1(x＞-2，n∈N*)其導(dǎo)函數(shù)記為
f
′
n
(x)．
（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若
f
′
n
(x0)
f
′
n+1
(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求證：0＜x0＜1；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)φ（x）=f3（x）-f2（x），數(shù)列{ak}前k項和為Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．對于給定的正整數(shù)n（n≥2），數(shù)列{bn}滿足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•香洲區(qū)模擬）定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N
（1）求f3（x）的極值點；
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，0]上的值域為[k-a，0]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2(n∈N*)，其導(dǎo)函數(shù)為fn′(x)．

(1)求證fn(x)≥nx；

(2)設(shè)，求證0＜x0＜1；

(3)是否存在區(qū)間[a，b)(-∞，0]，使函數(shù)h(x)=f3(x)-f2(x)在區(qū)間[a，b)的值域為[ka，kb]?若存在，求出最小的A的值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]．

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