Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且．

（Ⅰ）求的極大值和極小值；

（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點．當(dāng)時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極大值為，極小值為；（Ⅱ）的取值范圍是：；（Ⅲ）直線OM斜率的最小值為4；，證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，首先利用求出，再由得，從而得，其導(dǎo)函數(shù)，利用求函數(shù)極值的一般方法及一般步驟列表即可求得函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上，分，兩種情形討論．①當(dāng)時，由（I）知在上遞增，所以的最大值，問題轉(zhuǎn)化為；②當(dāng)時，的最大值，由對任意的恒成立，等價于，進而可求得的取值范圍；（Ⅲ）由已知易得直線斜率，由于，易得直線斜率的最小值為4．當(dāng)時，有，故，可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明在恒成立，從而證得．

試題解析：（I）依題意，，解得，                    1分

由已知可設(shè)，因為，所以，則，導(dǎo)函數(shù)．                                 3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

由上表可知在處取得極大值為，在處取得極小值為．                                       5分

（Ⅱ）①當(dāng)時，由（I）知在上遞增，所以的最大值，    6分

由對任意的恒成立，得，則，因為，所以，則，因此的取值范圍是．            8分

②當(dāng)時，因為，所以的最大值，由對任意的恒成立，得， ∴，因為，所以，因此的取值范圍是．

綜上①②可知，的取值范圍是．                          10分

（Ⅲ）當(dāng)時，直線斜率，因為，所以，則，即直線斜率的最小值為4．            11分

首先，由，得.

其次，當(dāng)時，有，所以，                12分

證明如下：記，則，所以在遞增，又，則在恒成立，即，所以 .              14分．

考點：1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值；2．恒成立問題參數(shù)取值范圍問題；3．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．