Question

（2012•黃岡模擬）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，則方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有（　�。﹤�(gè)．

A．6個(gè)

B．4個(gè)

C．7個(gè)

D．8個(gè)

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求的f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2）=-3，且函數(shù)的值域?yàn)镽．分a=1、0＜a＜1、a＞1三種
情況，研究方程跟的個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
故f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2）=-3，且函數(shù)的值域?yàn)镽．
由函數(shù)g（x）的圖象可得，當(dāng)x=-3或x=

1

2

時(shí)，g（x）=1．
①當(dāng)a=1時(shí)，若方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）=-3，此時(shí)方程有2個(gè)根，或f（x）=

1

2

，此時(shí)方程有3個(gè)根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5個(gè)根．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程g[f（x）]-a=0，則：
f（x）∈（-4，-3），此時(shí)方程有1個(gè)根，或f（x）∈（-3，-2），此時(shí)方程有3個(gè)根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4個(gè)根．
③當(dāng)a＞1時(shí)，方程g[f（x）]-a=0，則：f（x）∈（0，

1

2

），或f（x）∈（

1

2

，+∞），
方程可能有4個(gè)、5個(gè)或6個(gè)根．
故方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有6個(gè)，
故選 A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中分析內(nèi)外函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．