Question

已知函數(shù)f（x）=

m

3

x3-

1

2

x2+n（m≠0）．
（I）若f（x）在x=1處取得極小值0，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在x=1處取得極小值0，求實(shí)數(shù)m，n的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（I）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=mx²-x，若f（x）在x=1處取得極小值0，則f'（1）=m-1=0，解得m=1，
且f（1）=0．所以f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+n，所以由f（1）=0，解得n=

1

6

．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=mx²-x=x（mx-1）=mx(x-

1

m

)，對應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，

1

m

．
若m＞0，則由f'（x）＞0，解得x＞

1

m

或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．由f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
若m＜0，則由f'（x）＞0，解得

1

m

＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．x＜0，由f'（x）＜0，解得x＞0或x＜

1

m

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
綜上若m＞0，函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0）和（

1

m

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

m

）．
若m＜0，函數(shù)的增區(qū)間為（

1

m

，0）．單調(diào)減區(qū)間為（-∞，

1

m

）和（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的極值和單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．