Question

已知函數(shù)，x≠0
（1）用定義證明函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）用定義證明函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（）上單調(diào)遞增；
（3）求函數(shù)在[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）證明：∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且函數(shù)，x≠0 滿足
∴對任意的非零實數(shù)x，都有 f（-x）=-x+=-（）=-f（x），
函數(shù)，x≠0是奇函數(shù)． （5分）
（2）設(shè) 0＜x₁＜x₂＜，則 f（x₁）-f（x₂）=-（ ）
=（x₁-x₂）-=（x₁-x₂） （1- ）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- ）＜0，
∴（x₁-x₂） （1- ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減．
設(shè) ＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） （1- ），
由 ＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1- ）＞0，
∴（x₁-x₂） （1- ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)在（）上單調(diào)遞增．（10分）
（3）由于函數(shù)在（1，）上單調(diào)遞減，在[]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值等于==2．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+=，故函數(shù)在[1，4]上的最大值為．（14分）
分析：（1）由函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，對任意的非零實數(shù)x，都有 f（-x）=-f（x），即可證明函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）設(shè) 0＜x₁＜x₂＜，化簡f（x₁）-f（x₂） 的解析式為（x₁-x₂） （1- ）＞0，可得函數(shù)在
（0，）上單調(diào)遞減，同理可證函數(shù)在（）上單調(diào)遞增．
（3）由于函數(shù)在（1，）上單調(diào)遞減，在[]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值等于，
f（1）和f（4）中較大的就是函數(shù)在[1，4]上的最大值．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于基礎(chǔ)題．