Question

已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中點O，OE⊥AA₁于E點．
（1）證明：OE⊥平面BB₁C₁C；
（2）若AA₁=

3

AB，求AC與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)OA，由正三角形的性質(zhì)得OA⊥BC，由射影性質(zhì)得A₁O⊥底面ABC，從而BC⊥平面AOA₁，進(jìn)而BC⊥EO，由OE⊥AA₁于E點，是OE⊥BB₁，由此能證明OE⊥平面BB₁C₁C．
（2）以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，求出平面AA₁B₁BAC的法向量，由此能求出AC與平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)OA，∵底面ABC為正三角形，∴OA⊥BC，
∵A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中點O，
∴A₁O⊥底面ABC，又BC?面ABC，
∴A₁O⊥BC，∴BC⊥平面AOA₁，
∵OE?平面AOA₁，∴BC⊥EO，
∵OE⊥AA₁于E點，∴OE⊥BB₁，
又BC∩BB₁=B，∴OE⊥平面BB₁C₁C．
（2）以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，
則A（

3

2

，0，0），C（0，-

1

2

，0），A₁（0，0，

3

2

），
B（0，

1

2

，0），B₁（0，

1

2

，

3

2

），

AC

=（-

3

2

，-

1

2

，0），

AB

=（-

3

2

，

1

2

，0），

AA1

=（-

3

2

，0，

3

2

），
設(shè)平面AA₁B₁BAC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AB =- 3 2 x+ 1 2 y=0 n • AA1 =- 3 2 x+ 3 2 z=0

，取x=2

3

，得

n

=（

3

，3，1），
設(shè)AC與平面AA₁B₁B所成角為θ，
sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

AC • n

| AC |•| n |

|=

3

13

=

3 13

13

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質(zhì)定理、二面角的求解等基礎(chǔ)知識和空間向量的立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．