Question

定義在x∈[-e，0）上的函數(shù)f（x）=ax-ln（-x），是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為3，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，分a≥0，a＜0兩種情況討論求得最小值，令其等于3解出a．a(chǎn)≥0時(shí)由單調(diào)性可求最小值，a＜0時(shí)再分

1

a

≤-e，-e＜

1

a

＜0兩種情況討論可求最小值．

解答： 解：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

a(x- 1 a )

x

，
若

1

a

≤-e即-

1

e

≤a＜0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
若-e＜

1

a

＜0，即a＜-

1

e

時(shí)，f（x）在[-e，

1

a

）上遞減，在（

1

a

，0）上遞增，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln（-

1

a

）=3，解得a=-e²，
∴存在實(shí)數(shù)a=-e²滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．