Question

已知函數(shù)f(x)=5

3

cos2x+

3

sin2x-4sinxcosx.
（1）當x∈R時，求f（x）的最小值；
（2）若

π

4

≤x≤

7π

24

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式將三角函數(shù)中平方降冪，再利用二倍角的正弦公式及公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)
化簡三角函數(shù)為y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數(shù)的有界性求出最小值．
（2）求出2x+

π

6

范圍，利用整體代換的思想，令2x+

π

6

在單減區(qū)間上，求出x的范圍即為單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=5

3

cos2x+

3

sin2x-4sinxcosx=

5 3 (cos2x+1)

2

+

3 (1-cos2x)

2

-2sin2x=3

3

+2

3

cos2x-2sin2x
=3

3

+4cos(2x+

π

6

)
當x∈R時，f（x）的最小值為3

3

-4．
（2）∵

π

4

≤x≤

7π

24

∴

π

2

≤2x≤

7π

12

，
∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

3π

4

且[

2π

3

，

3π

4

]?[0，π]
∴

π

4

≤x≤

7π

24

時，f（x）單調(diào)減區(qū)間為{x|

π

4

≤x≤

7π

24

}．

點評：本題考查三角函數(shù)的二倍角公式將三角函數(shù)的平方降冪、利用公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)化簡三角函數(shù)、利用整體代換的思想求單調(diào)區(qū)間．