Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+2在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線l：x-y-1=0垂直，
（1）求實(shí)數(shù)a的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=lnn，數(shù)列{a_n}：a_n=2g（n）-h（n），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使對(duì)任意n∈N^*，不等式a_n＞log₂m-4log_m2-1恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切線關(guān)系即可，求實(shí)數(shù)a的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知f′(x)=

1

x

-a，f′（1）=1-a=-1，
∴a=2．
由f′(x)=

1

x

-2＞0，解得0＜x＜

1

2

，
由f′(x)=

1

x

-2＜0，解得x＞

1

2

．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

2

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

2

，+∞)．
（2）由已知an=2g(n)-lnn=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)-lnnan+1=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)-ln(n+1)，
∴an+1-an=

2

n+1

+lnn-ln(n+1)=ln

n

n+1

-

2n

n+1

+2，
由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，1]上單調(diào)遞減
由于

1

2

≤

n

n+1

＜1，∴ln

n

n+1

-

2n

n+1

+2=f(

n

n+1

)＞f(1)=0即a_n+1＞a_n．
∴l(xiāng)og₂m-4log_m2-1＜（a_n）_min=a₁=2，
解得

1

2

＜m＜16且m≠1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

1

2

，1)∪(1，16)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)列的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．