【題目】在直三棱柱，，F、E分別是和的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，由//，即可由線線平行推證線面平行；

（2）先推證，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，即可由此求得二面角的余弦值.

（1）證明：連結(jié)，在中，F為長方形對角線的交點，

如下圖所示：

∴F為的中點，∴，

又平面，平面，

∴平面

（2）連結(jié)，由直三棱柱性質(zhì)及，得，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

∵，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

以C為坐標(biāo)原點，射線，，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

，，，，，

設(shè)平面的法向量，

則取，得，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則二面角的余弦值為：

.

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知圓柱OO1底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面.動點M從點B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點D，其距離最短時在側(cè)面留下的曲線Γ如圖所示.將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜π）后，邊B1C1與曲線Γ相交于點P.

（1）求曲線Γ長度；

（2）當(dāng)時，求點C1到平面APB的距離；

（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小為？若存在，求出線段BP的長度；若不存在，請說明理由.

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【題目】由于《中國詩詞大會》節(jié)目在社會上反響良好，某地也模仿并舉辦民間詩詞大會，進(jìn)入正賽的條件為：電腦隨機(jī)抽取10首古詩，參賽者能夠正確背誦6首及以上的進(jìn)入正賽．若詩詞愛好者甲、乙參賽，他們背誦每一首古詩正確的概率均為．

（1）求甲進(jìn)入正賽的概率．

（2）若參賽者甲、乙都進(jìn)入了正賽，現(xiàn)有兩種賽制可供甲、乙進(jìn)行PK，淘汰其中一人．

賽制一：積分淘汰制，電腦隨機(jī)抽取4首古詩，每首古詩背誦正確加2分，錯誤減1分．由于難度增加，甲背誦每首古詩正確的概率為，乙背誦每首古詩正確的概率為，設(shè)甲的得分為，乙的得分為．

賽制二：對詩淘汰制，甲、乙輪流互出詩名，由對方背誦且互不影響，乙出題，甲回答正確的概率為0.3，甲出題，乙回答正確的概率為0.4，誰先背誦錯誤誰先出局．

（i）賽制一中，求甲、乙得分的均值，并預(yù)測誰會被淘汰；

（ii）賽制二中，誰先出題甲獲勝的概率大？

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【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當(dāng)時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī)，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護(hù)物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護(hù)物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達(dá)這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產(chǎn)商承擔(dān)，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達(dá)時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達(dá)時間相互獨立，互不影響）：

到達(dá)時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機(jī)變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，當(dāng)時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

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