Question

【題目】已知橢圓：（）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意求出，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，可求出四點(diǎn)，可驗(yàn)證；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，將直線分別與橢圓方程、拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和焦點(diǎn)弦公式求出、，根據(jù)解方程即可.

解：（1）由已知橢圓的離心率，，得，則，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，可求出，，，，

所以，，不滿足條件；

當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得：

，恒成立，

設(shè)，，則

∴

將直線：，代入拋物線得，

設(shè)，，則，

又因?yàn)?/span>，

由得：，∴，

解得，

所以直線的方程為.