Question

在平面直角坐標系xOy中，動點p（x，y）（x≥0）滿足：點p到定點F（

1

2

，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為

1

2

．記動點p的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線x=-

1

2

于點D，求證：直線DB平行于x軸．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,轉化思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用動點p（x，y）（x≥0）滿足：點p到定點F（

1

2

，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為

1

2

．列出關系式，即可求曲線C的軌跡方程；
（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線x=-

1

2

于點D，設A的坐標為（

y02

2

，y0），求出OM的方程為y=

2

y0

x（y₀≠0），推出點D的縱坐標然后求出直線AF的方程，求出點B的縱坐標，判斷直線DB平行于x軸．即可得到結果．

解答： 解：（1）依題意：|PF|-x=

1

2

…（2分）
∴

(x- 1 2 )2+y2

=

1

2

+x （x-

1

2

）²+y²=（x+

1

2

）²…（4分）
∴y²=2x…（6分）
注：或直接用定義求解．
（2）設A的坐標為（

y02

2

，y0），則OM的方程為y=

2

y0

x（y₀≠0），
∴點D的縱坐標為y=-

1

y0

，
∵F（

1

2

，0）
∴直線AF的方程為y=

y0

y02 2 - 1 2

(x-

1

2

)，(y02≠1)
∴點B的縱坐標為y=-

1

y0

．
∴BD∥x軸；當y₀²=1時，結論也成立，
∴直線DB平行于x軸．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系，直線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．