Question

多面體ABCDEF的直觀圖及三視圖分別如圖所示,已知點M在AC上,點N在DE上,且AM∶MC=DN∶NE=a.

         

(1)求證:MN∥平面BCEF;

(2)當a=1時,求二面角D—MN—F的余弦值的絕對值.

Answer 1

解：(1)由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ABF—DCE.

且AB=BC=AF=2,CE=BF=2,∠BAF=90°,

在CD上取一點G,DG∶GC=DN∶NE,連結(jié)MG,NG.則

∵AM∶MC=DN∶NE=a,

∴NG∥CE,MG∥BC.

∴平面MNG∥平面BCEF.

∴MN∥平面BCEF.

(2)∵a=1,

∴M,N分別是AC、DE的中點.

以AB,AF,AD分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則有關(guān)各點的坐標分別是D(0,0,2),F(0,2,0),M(1,0,1),N(0,1,2)

∴=(0,1,0),=(-1,1,1),=(0,-1,2).

設(shè)平面DMN的法向量m=(1,y,z),則·m=0,·m=0.

∴

∴

∴m=(1,0,1).

設(shè)平面MNF的法向量為n=（1,y₁,z₁）,則·n=0，·n=0.

∴

∴n=(1,,).

設(shè)二面角D—MN—F的平面角為θ,

則cosθ=.

∴二面角D—MN—F的余弦值的絕對值為.