Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：1.本題的模型是長(zhǎng)方體，因此采用坐標(biāo)法不失為一個(gè)好的選擇.2.本題也可以采用幾何法的方式進(jìn)行求解.（Ⅰ）如圖，連接，交于，可以證明四邊形是平行四邊形，從而，進(jìn)而可以證明平面.（Ⅱ）過(guò)作于，因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091500200265938312/SYS201309150021389493839906_DA.files/image012.png">是正方形，可以證明平面，從而即為所求角.接下來(lái)解之即可.第（Ⅱ）問(wèn)也可以用等積的辦法來(lái)求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：在長(zhǎng)方體中，

∵，，∴.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)題意得，，，，，，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為.

∴，   .∴.

∵平面，平面，∴.

∴平面.

（Ⅱ）解：，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)已知得

 取，得

∴是平面的一個(gè)法向量.

 ∴.

∴直線與平面所成角的正弦值等于.

考點(diǎn)：空間線面位置關(guān)系、線面平行、線面角的求法.