(12分)如圖,在四棱錐中,底面
是正方形,側棱
底面
是
的中點,作
交
于點
。
(I)證明:平面
;
(Ⅱ)證明:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小。
解析:(I)證明:連結交
于
,連結
底面
是正方形,
點
是
的中點,
在中,
是中位線,
,
而平面
且
平面
,所以,
平面
(Ⅱ)證明:底面
且
底面
,
,可知
是等腰直角三角形,而
是斜邊
的中線。
①
同樣由底面
得
底面
是正方形,有
平面
。
而平面
②
由①和②推得平面
而平面
又且
,所以
平面
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,,故
是二面角
的平面角
由(2)知,
設正方形的邊長為
,則
在中,
在中,
所以,二面角的大小為
方法二;如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點,設
(I)證明:連結AC,AC交BD于G,連結EG。
依題意得A(,0,0),P(0,0,
),
底面
是正方形,
是此正方形的中心,故點
的坐標為
)
且,這表明
而平面
且
平面
平面
(Ⅱ)證明:依題意得,
又,故
由已知,且
,所以
平面
(Ⅲ)解:設點的坐標為
,則
則
從而所以
由條件知,
,即
,解得
點
的坐標為
,且
即,故
二面角
的平面角。
,且
科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年廣西省桂林中學高二下學期期中考試數(shù)學 題型:解答題
((本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面
是矩形.已知
.
(1)證明平面
;
(2)求異面直線與
所成的角的大。
(3)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆福建省三明市高三第一學期測試理科數(shù)學試卷 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是菱形,
,
,
,
平面
,
是
的中點,
是
的中點.
(Ⅰ) 求證:∥平面
;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面
;
(Ⅲ)求平面與平面
所成的銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆上海市高二年級期終考試數(shù)學 題型:解答題
(本題滿分16分)
如圖,在四棱錐中,底面
是矩形.已知
.
(1)證明平面
;
(2)求異面直線與
所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年江蘇省高二下學期期末考試附加卷數(shù)學卷 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是正方形,側棱
,
為
中點,作
交
于
(1)求PF:FB的值
(2)求平面與平面
所成的銳二面角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆浙江省高三6月考前沖刺卷數(shù)學理 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
平面
,
在棱
上.
(Ⅰ)當時,求證
平面
(Ⅱ)當二面角的大小為
時,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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