Question

設函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0，則稱函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數”，已知f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²在區(qū)間（1，3）上為“凹函數”，則實數m的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，

  31

  9

  ）
• B、[

  31

  9

  ，5]
• C、（-∞，-3）
• D、（-∞，5]

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：本題根據二階導數的定義及函數特征，研究原函數的二階導數，求出m的取值范圍，得到本題結論．

解答： 解：∵f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²，
∴f′（x）=

1

4

x⁴-

1

3

mx³-4x，
∴f″（x）=x³-mx²-4．
∵f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²在區(qū)間（1，3）上為“凹函數”，
∴f″（x）＞0．
∴x³-mx²-4＞0，x∈（1，3）．
∴m＜x-

4

x2

，
∵x-

4

x2

在（1，3）上單調遞增，
∴x-

4

x2

在（1，3）上滿足：x-

4

x2

＞1-4=-3．
∴m≤-3．
故答案為：C．

點評：本題考查了二階導數和恒成立問題，本題難度不大，屬于基礎題．