已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A、B，P為線段AB上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
的最小值小于零，則橢圓E的離心率的取值范圍為（　�。�
分析：依題意可求得AB的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入AB得方程，求得若
PF1
•
PF2
的最小值，令(
PF1
•
PF2
)min＜0，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案．
解答：解：依題意，作圖如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），
∴直線AB的方程為：
x
-a
+
y
b
=1，整理得：bx-ay+ab=0，
設(shè)直線AB上的點(diǎn)P（x0，y0）
則bx0=ay0-ab，
∴x0=
a
b
y0-a，
∵
PF1
•
PF2
=（-c-x0，-y0）•（c-x0，-y0）=x02+y02-c2．
=(
a
b
y0-a)2+y02-c2，
令f（y0）=(
a
b
y0-a)2+y02-c2，
∵f′（y0）=2（
a
b
y0-a）×
a
b
+2y0，
∴由f′（y0）=0得：y0=
a2b
a2+b2
，于是x0=-
ab2
a2+b2
，
此時(shí)f（y0）取到最小值，
即(
PF1
•
PF2
)min=(
-ab2
a2+b2
)2+(
a2b
a2+b2
)2-c2，
∵(
PF1
•
PF2
)min＜0，
∴(
-ab2
a2+b2
)2+(
a2b
a2+b2
)2-c2＜0，
整理得：
a2b2
a2+b2
＜c2，又b2=a2-c2，e2=
c2
a2
，
∴e4-3e2+1＜0，
∴
3-
5
2
＜e2＜
3+
5
2
，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴
3-
5
2
＜e2＜1，
∵
3-
5
2
=
6-2
5
4
=(
5
-1
2
)2，
∴
5
-1
2
＜e＜1．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查直線的方程，著重考查函數(shù)的最值的求法，求得(
PF1
•
PF2
)min是關(guān)鍵，更是難點(diǎn)，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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