Question

已知函數(shù)F（x）=（x²-ax+1）e^x，直線l：y=2x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=F（x）在點（0，F(xiàn)（0））處的切線為l，求a，b的值；
（2）求函數(shù)F（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調，求a得取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由F′（0）=1-a=2，F(xiàn)（0）=1=b．
（2）令F′（x）≥0，則x²+（2-a）x+1-a≥0，化為（x+1）[x+（1-a）]≥0，對a分類討論即可得出．
（3）由于函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調，可得F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有解．可得a=x+1．
即可解出．

解答： 解：（1）F′（x）=（x²+（2-a）x+1-a）e^x，∴F′（0）=1-a=2，解得a=-1．
F（0）=1=b，∴a=-1，b=1．
（2）令F′（x）≥0，則x²+（2-a）x+1-a≥0，化為（x+1）[x+（1-a）]≥0，
當當a=0時，化為（x+1）²≥0，此時函數(shù)F（x）在R上單調遞增；
當a＜0時，-1＞a-1，解得x≥-1或x≤a-1，此時函數(shù)F（x）單調遞增區(qū)間為（-∞，a-1]，[-1，+∞）；
當a＞0時，-1＜a-1，解得x≤-1或x≥a-1，此時函數(shù)F（x）單調遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[a-1，+∞）；
（3）∵函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調，
∴F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有解．
∴x²+（2-a）x+1-a=0，
化為a=x+1．
∴1＜a＜3．
∴a得取值范圍是（1，3）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值、利用導數(shù)的幾何意義研究切線，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．