Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，A₁B₁⊥BC，BC=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），(0，

3

)、F分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）運(yùn)用中點(diǎn)得出FG∥AC，且FG=

1

2

AC，即四邊形FGEC₁為平行四邊形，C₁F∥EG，EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，運(yùn)用定理判斷即可．
（Ⅱ）在三角形ABC中，求解AB=

CA2-CB2

=

3

，運(yùn)用：三棱錐A-BCE的體積為V_A-BCE=V_E-ABE．

解答： 解：（Ⅰ）：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點(diǎn)
∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC
∵AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁
∴FG∥EC₁，且FG=EC₁
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE
∴C₁F∥平面ABE，
（Ⅱ）∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC
∴AB=

CA2-CB2

=

3

∴三棱錐A-BCE的體積為V_A-BCE=V_E-AB=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了空間幾何體中的線面關(guān)系，求解體積，證明平行問題，抓住空間平面的轉(zhuǎn)化即可，屬于中檔題．