Question

【題目】已知橢圓方程為，左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，是面積為4的直角三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過作直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題得解出，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時，易知；當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式表示出，用點(diǎn)到直線距離公式算出點(diǎn)到直線的距離，則的面積，即可求出最大值.

解：

（1）由已知可得，

解得，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為.

（2）設(shè)，.

①當(dāng)直線斜率k不存在時

，，的面積.

②當(dāng)直線斜率k存在時

可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，

消元得，

所以，.

所以

，

點(diǎn)到直線的距離.

所以的面積

，

顯然斜率，若時，共線，不能形成.

所以，.

綜上所述，.

所以面積的最大值為.