Question

如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，BB1=

2

，M是線段B₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求證：D₁O⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接D₁O，通過證明D₁O∥BM，去證BM∥平面D₁AC．
（Ⅱ通過證明 OB₁⊥D₁O．AC⊥D₁O，由線面垂直的判定定理去證D₁O⊥平面AB₁C，
（Ⅲ）在平面ABB₁中過點(diǎn)B作BE⊥AB₁于E，連接EC，證明∠BEC是二面角B-AB₁-C的平面角，再再直角三角形BEC中求解．

解答：解：（Ⅰ）連接D₁O，如圖，∵O、M分別是BD、B₁D₁的中點(diǎn)，BD₁D₁B是矩形，
∴四邊形D₁OBM是平行四邊形，∴D₁O∥BM．
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC．
（Ⅱ）連接OB₁，∵正方形ABCD的邊長為2，BB1=

2

，
∴B1D1=2

2

，OB₁=2，D₁O=2，
則OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，
∴D₁O⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）在平面ABB₁中過點(diǎn)B作BE⊥AB₁于E，連接EC，
∵CB⊥AB，CB⊥BB₁，
∴CB⊥平面ABB₁，又AB₁?平面ABB₁，
∴CB⊥AB₁，又BE⊥AB₁，且CB∩BE=B，
∴AB₁⊥平面EBC，而EC?平面EBC，
∴AB₁⊥EC．
∴∠BEC是二面角B-AB₁-C的平面角．
在Rt△BEC中，BE=

2 3

3

，BC=2
∴tan∠BEC=

3

，∠BEC=60°，
∴二面角B-AB₁-C的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面位置關(guān)系及其判定，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（線線位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面位置關(guān)系）空間想象能力，計(jì)算能力．