【題目】如圖所示,已知在矩形中,,,平面,且.

（1）問當實數(shù)在什么范圍時,邊上能存在點,使得？

（2）當邊上有且僅有一個點使得時,求二面角的余弦值大小.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立坐標系,設(shè)點,則,,由,可得,顯然當該方程有非負實數(shù)解時,邊上才存在點,使得,,即可求得的范圍.

（2）求平面的一個法向量是和平面的一個法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.

（1）以為坐標原點,、、分別為、、軸建立坐標系如圖所示:

,,

,,.

設(shè)點,則,.

由,得.

顯然當該方程有非負實數(shù)解時,邊上才存在點,使得,

故只須.

,故的取值范圍為.

（2）易見,當時,上僅有一點滿足題意,

此時,即為的中點,

得:,,.

設(shè)平面的一個法向量是,

則,,

,,

,取,,,所以.

又平面的一個法向量是.

,

二面角的余弦值為.

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