數(shù)列｛an｝滿足an>0,前n項和.

①求 ;

②猜想｛sn｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

 

 

【答案】

（1）得，，；（2）見解析.

【解析】（1）由，得 (),即 , ，數(shù)列是一個等差數(shù)列，因而可求得其通項，進(jìn)而確定{}的通項公式.

(2)根據(jù)第一問歸納出,利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時，第一步要驗證：當(dāng)n=1時，等式成立；第二步要先假設(shè)n=k時，等式成立，再證明n=k+1時，等式也成立即可.

解：①由

 ()…………………2分

得        （*）    ………………4分

又由………………………6分

得，，………………………7分

②猜想下面用歸納法證明：

（1） 當(dāng)n=1時，顯然猜想成立.………………………9分

（2） 假設(shè)n=k時（）猜想也成立，

即………………………  …………  ………   10分

當(dāng)n=k+1時，由（*）得

又因為

所以…………………………………………12分

即n=k+1時猜想也成立.

由①，②得猜想成立.…………………………………………13分

 

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an＋1=an2－nan＋1，n=1，2，3，…，

（Ⅰ）當(dāng)a1=2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

（Ⅱ）當(dāng)a1≥3時，證明對所有的n≥1，有

（ⅰ）an≥n＋2；

（ⅱ）．

 

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若數(shù)列｛an｝滿足an＋1＝且a1＝0，則a7＝        ．

 

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設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an+1=an2－nan+1，n=1，2，3，….

（1）當(dāng)a1=2時，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

（2）當(dāng)a1≥3時，證明所有n≥1，有an≥n+2.

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（22）設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1，2，3，…，

（Ⅰ）當(dāng)a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

（Ⅱ）當(dāng)a1≥3時，證明對所有的n≥1，有

（�。�an≥n＋2；

（ⅱ）…＋≤.

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