Question

已知函數f（x）=a^x+x-b的零點x∈（k，k+1）（k∈Z），且常數a，b分別滿足2^a=3，3^b=2，則k=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer 1

【答案】分析：根據2^a=3，3^b=2和指數式與對數的互化，求得a=log₂3，b=log₃2，代入函數得f（x）=（log₂3）^x+x-log₃2是增函數，本題根據函數的單調性和零點的性質進行求解．
解答：解：∵2^a=3，3^b=2
∴a=log₂3，b=log₃2，
∴函數f（x）=（log₂3）^x+x-log₃2，且函數是R上的增函數，
而f（-1）=-1＜0，f（0）=1-log₃2＞0，
∴函數f（x）=（log₂3）^x+x-log₃2在（-1，0）內有一個零點
故k=-1，
故選A．
點評：本題主要考查了函數零點的判定定理以及指數與對數的互化，函數 f（x）=（log₂3）^x+x-log₃2是增函數，單調函數最多只有一個零點，是解題的關鍵，屬中檔題．