試證經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行.
已知:點AÏ 平面α.
求證:過A有且只有一個平面β∥α.
證明:在平面α內(nèi)任作兩條相交直線a和b,則由AÏ
α知,AÏ
a,AÏ
b.點A和直線a可確定一個平面 ∵ 又 ∴過點A有一個平面β∥α. 假設過A點還有一個平面γ∥α, 則在平面α內(nèi)取一直線c,AÏ ,點A、直線c確定一個平面ρ,由公理2知: β∩ρ=m,γ∩ρ=n,∴m∥c,n∥c,從而有m∥n.又A∈m,A∈n, 這與過一點有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾,因此假設不成立,∴平面β只有一個. ∴過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行. “有且只有”要準確理解,要先證這樣的平面是存在的,再證它是唯一的,兩者缺一不可. |
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