Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足，且當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂）．則等于？

Answer 1

【答案】分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（）=f（x）⇒f（）=；反復利用f（）=f（x）⇒f（）=f（）= ①；再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，同理反復利用f（）=f（x）⇒f（）=f（）= ②；又0≤x₁＜x₂≤1時f（x₁）≤f（x₂），而從而可求得f（）的值．
解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（）=f（x），
∴當x=1時，f（）=f（1）=；
令x=，由f（）=f（x）得：
f（）=f（）=；
同理可求：f（）=f（）=；
f（）=）=f（）=；
f（）=f（）= ①
再令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（）=，
∴f（）+f（1-）=1，解得f（）=，
令x=，同理反復利用f（）=f（x），
可得f（）=）=f（）=；
f（）=f（）=；
…
f（）=f（）= ②
由①②可得：，有f（）=f（）=，
∵0≤x₁＜x₂≤1時f（x₁）≤f（x₂），而0＜＜1
所以有f（）≥f（）=，
       f（）≤f（）=；
故=．
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，解題的關鍵兩次賦值后都反復應用f（）=f（x），同時考查了計算能力，屬于中檔題．