Question

已知f(x)=ax²(a∈R), g(x)=2lnx.

（1）討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)a，使得f(x)≥g(x)+2 (x>0)恒成立，若不存在，請說明理由；若存在，求出a的取值范圍;

（3）若方程f(x)=g(x)在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）

（i）當(dāng)a>0時，由ax²-1>0得 , 

 由ax²-1<0得 .

故當(dāng)a>0時，F(x)的遞增區(qū)間為，

遞減區(qū)間為.

（ii）當(dāng)恒成立

故當(dāng)上單調(diào)遞減.   ………………………4分

（2）即使時恒成立.

（i）當(dāng)a≤0時，由（1）知當(dāng)

∴時不可能恒成立.， 

（ii）當(dāng)a>0時，由（1）可知

即可 ,

故存在這樣的a的值，使得

a的取值范圍是              ………………………8分

（3）等價于方程在區(qū)間上有兩個不等解，

∵ 

在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

∴， 

， 

   a的取值范圍是