已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(2c-b)tanB=btanA,求角A.
【答案】
分析:根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡已知的等式(2c-b)tanB=btanA,由sinB不為0,在等式兩邊都除以sinB后,利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,再由sinC不為0,兩邊都除以sinC,得到cosA的值,然后由A的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角A的度數(shù).
解答:解:由(2c-b)tanB=btanA,及正弦定理得:
(2sinC-sinB)•
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=sinB•
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,
∵sinB≠0,∴(2sinC-sinB)•
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=
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,
化簡得:2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB,由A+B+C=π,
得到:2sinCcosA=sin(A+B)=sinC,
由sinC≠0,得到cosA=
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,
∵A∈(0,π),
∴A=
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.
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值,靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值,是一道中檔題.