Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD交PD于點(diǎn)E．
（1）證明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,向量法,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）結(jié)合已知由直線和平面垂直的判定定理可證PC⊥平面ADF，即得所求；
（2）由已知數(shù)據(jù)求出必要的線段的長度，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法計算即可．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，
即CF⊥平面ADF；
（2）設(shè)AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°
則PC=2，PD=

3

，由（1）知，CF⊥DF，
則DF=

3

2

，AF=

AD2+DF2

=

7

2

，
即有CF=

AC2-AF2

=

1

2

，又EF∥CD，
則

PE

PD

=

CF

PC

=

1

4

，則有DE=

3

4

，
同理可得EF=

3

4

CD=

3

4

，
如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，1），E（

3

4

，0，0），F(xiàn)（

3

4

，

3

4

，0），P（

3

，0，0），C（0，1，0），
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面AEF的法向量，則

m

⊥

AE

，

m

⊥

EF

，
則有

m • AE = 3 4 x-z=0 m • EF = 3 4 y=0

，令x=4可得z=

3

，則

m

=（4，0，

3

），
設(shè)平面ACF的一個法向量為

n

=（k，l，r），則

n

⊥

AC

，

n

⊥

AF

，
則有

n • AC =l-r=0 n • AF = 3 4 k+ 3 4 l-r=0

，令l=4，可得r=4，k=

4 3

3

，則

n

=（

4 3

3

，4，4），
設(shè)二面角C-AF-E的平面角為θ，則θ為鈍角，
則cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

m • n

| m |•| n |

|=-

133

19

．

點(diǎn)評：本題考查空間直線與平面垂直的性質(zhì)和判定，考查用空間向量法求二面角的余弦值，建立空間直角坐標(biāo)系并準(zhǔn)確求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．