Question

已知函數f（x）=x+

a

x

，其中常數a＞0
（1）證明：函數f（x）在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數；
（2）利用（1）的結論，求函數y=x+

20

x

（x∈[4，6]）的值域；
（3）借助（1）的結論，試指出函數g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)的單調區(qū)間，不必證明．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用導數判斷函數的單調性；
（2）由（1）知函數y=x+

20

x

在[4，

20

]上為減函數，在[

20

，6]上為增函數，即可求得最值；
（3）由（1）的結論寫出即可．

解答： （1）證明：∵f（x）=x+

a

x

，∴f′（x）=1-

a

x2

∴由1-

a

x2

≥0得x≤-

a

或x≥

a

，故f（x）在[

a

，+∞）上是增函數；
由1-

a

x2

≤0得，-

a

≤x≤

a

，又x≠0，故-

a

≤x＜0或0＜x≤

a

，
故f（x）在（0，

a

]上是減函數．
（2）由（1）知函數y=x+

20

x

在[4，

20

]上為減函數，在[

20

，6]上為增函數，
∴當x=

20

時，y_min=2

20

，又當x=4時，y=9，當x=6時，y=

28

3

∴y_max=

28

3

；
綜上可得，函數y=x+

20

x

（x∈[4，6]）的值域是[2

20

，

28

3

]．
（3）∵g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)
∴g（x）=x-

7

x

+1，
∴由（1）可知函數g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)在（0，+∞）上是增函數，
故函數g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)的遞增區(qū)間是（0，+∞）．

點評：考查導數單調性的判斷方法以及利用函數的單調性求最值的方法．