Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=AD=4，點E為AB中點．
（Ⅰ） 求證：BD₁∥平面A₁DE；
（Ⅱ） 求證：A₁D⊥平面ABD₁；
（Ⅲ） 求點B到面A₁DE的距離．

Answer 1

分析：（I）利用長方體的性質(zhì)和三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可得出；
（II）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、正方形的性質(zhì)即可證明；
（III）利用“等積變形”即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：設A₁D與AD₁交于點O，連接EO．
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、E分別為AD₁、AB的中點，
∴OE∥BD₁．
∵OE?平面A₁DE，BD₁?平面A₁DE
∴BD₁∥平面A₁DE．
（Ⅱ） 在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AD=AA₁，∴A₁D⊥AD₁．
又AB⊥側(cè)面ADD₁A₁，∴AB⊥A₁D，
而AD₁∩AB=A，∴A₁D⊥平面ABD₁．
（Ⅲ） 設點B到面A₁DE的距離為h，VA1-BDE=

1

3

S△BDE•AA1=

1

3

×

1

2

×1×4×4=

8

3

.S△A1DE=

1

2

A1D•OE=

1

2

×4

2

×3=6

2

．
由VA1-BDE=VB-A1DE得

1

3

×6

2

×h=

8

3

，
得h=

2 2

3

，即點B到面A₁DE的距離為

2 2

3

．

點評：熟練掌握長方體的性質(zhì)和三角形的中位線定理、線面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)、三棱錐的“等積變形”是解題的關鍵．