Question

（2012•鐘祥市模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-2．
（i）求f（x）的解析式；
（ii）求證：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，

f(x)

x+1

+x+

1

x

＞

lnx

x-1

．

Answer 1

分析：由題意可得，f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）
（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-2ax2+(a-2)x+1

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

，要討論函數(shù)的單調(diào)性，只要討論a的范圍判斷f′（x）的符號(hào)
（II）（i）由（I）知f′（x）=-（a+1）=-2可求a，從而可求f（x）
（ii）由于

f(x)

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

1

x2-1

(x-

1

x

-2lnx)，令g(x)=x-

1

x

-2lnx(x＞0，x≠1)對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)可得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，可證

解答：解：由題意可得，f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）
（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=

1

x

-2ax+a-2=

-2ax2+(a-2)x+1

x

=

-(2x-1)(ax+1)

x

①a≥0時(shí)，ax+1＞0，x＞0
由f′（x）＞0可得，x∈(0，

1

2

)，由f′（x）＜0可得x∈(

1

2

，+∞)
∴f（x）在（0，

1

2

）單調(diào)遞增，在（

1

2

，+∞）單調(diào)遞減
②a＜0時(shí)，令f′（x）=0可得x₁=

1

2

或x2=

1

a

（i）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)-

1

a

＞

1

2

由f′（x）＜0可得x∈(

1

2

，-

1

a

)，由f′（x）＞0可得x∈(0，

1

2

)∪(-

1

a

，+∞)
故f（x）在(

1

2

，-

1

a

)單調(diào)遞減，在（0，

1

2

），(-

1

a

，+∞)單調(diào)遞增
（ii）當(dāng)a＜-2時(shí)，同理可得f（x）在（-

1

a

，

1

2

）單調(diào)遞減，在（0，-

1

a

），(

1

2

，+∞)單調(diào)遞增
（iii）當(dāng)a=-2時(shí)，f′(x)=

(2x-1)2

x

≥0
∴f（x）在（0，+∞）增…..（6分）
（II）（i）解：由（I）知）知f′（x）=-（a+1）=-2
∴a=1
∴f（x）=lnx-x²-x…．（8分）
（ii）證明：

f(x)

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

lnx-x2-x

x+1

+x+

1

x

-

lnx

x-1

=

lnx

x+1

-

lnx

x-1

+

1

x

=

1

x

-

2lnx

x2-1

=

1

x2-1

(

x2-1

x

-2lnx)=

1

x2-1

(x-

1

x

-2lnx)
令g(x)=x-

1

x

-2lnx(x＞0，x≠1)g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

=

(x-1)2

x2

故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
∴g（x）＜g（1）=0，又

1

x2-1

＜0
∴

1

x2-1

g(x)＞0
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0
又

1

x2-1

＞0，
∴

1

x2-1

g(x)＞0
綜上所述，x＞0且x≠0時(shí)，

f(x)

x+1

+x+

1

x

＞

lnx

x-1

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線的求解中的應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式中的應(yīng)用，屬于中檔試題