Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，且sin(B+

π

6

)=2cosB．
（1）若cosC=

6

3

，AC=3，求A、B．
（2）若A∈(0，

π

3

)，且cos(B-A)=

4

5

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由sin(B+

π

6

)=2cosB 可得 tanB=

3

，B=

π

3

．由cosC=

6

3

，得 sinC=

3

3

．根據(jù)cosA=-cos（B+C），利用兩角和差的余弦公式求得cosA，可得A的值．
（2）由條件求得 cos（

π

3

-A）=

4

5

，sin（

π

3

-A）=

3

5

．根據(jù)sin（-A）=sin[（

π

3

-A）-

π

3

），利用兩角差的正弦公式求得sin（-A）的值，即可求得 sinA 的值．

解答：解：（1）在△ABC中，由sin(B+

π

6

)=2cosB 可得 sinB×

3

2

+cosB×

1

2

=2cosB，∴sinB=

3

cosB，∴tanB=

3

，B=

π

3

．
由cosC=

6

3

，得 sinC=

3

3

．
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-

1

2

×

6

3

+

3

2

×

3

3

=

3- 6

3

，∴A=arccos

3- 6

3

．
（2）若A∈(0，

π

3

)，且cos(B-A)=

4

5

，則有 cos（

π

3

-A）=

4

5

，∴sin（

π

3

-A）=

3

5

．
∴sin（-A）=sin[（

π

3

-A）-

π

3

）=sin（

π

3

-A）cos

π

3

-cos（

π

3

-A）sin

π

3

=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

，
故 sinA=

-3+4 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．