【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸的兩個端點分別為、
.短軸的兩個端點分別為
,
.菱形
的面積為
,離心率
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè),經(jīng)過點M作斜率不為0的直線
交橢圓C于A、B兩點,若
,求直線
的方程.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)由已知條件得出關(guān)于方程組求解即可;
(2)方法一:先由已知得出中垂線過
點,設(shè)出直線
的方程,
點坐標,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去
得關(guān)于
的一元二次方程,利用韋達定理得出
點坐標關(guān)系,最后利用
中點在中垂線上得到關(guān)系式求解即可.方法二:先設(shè)出直線
的方程,
點坐標,由已知向量關(guān)系式化簡為坐標關(guān)系,利用點差法得出
點坐標關(guān)系,然后把直線
方程與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于
的一元二次方程,利用韋達定理即可得到等量關(guān)系,求解即可.
解:(1)∵,∴
.
又因為菱形的面積為
,即有
,即
,
所以,從而
,
所以橢圓C的標準方程為.
(2)由,知
,設(shè)
,由向量加法的意義,知
是線段
的中垂線,設(shè)直線
的方程為
,經(jīng)過N且與
垂直的直線為
.
設(shè),由
消去
,得
,
于是有.
關(guān)于A,B關(guān)于直線對稱,故點
必在此直線上,
所以,即
,所以
或
,
故所求的直線的方程為
或
,即
或
.
解法二:設(shè),因為
,所以
.
由題得,即
.①
因為A、B在橢圓C上,所以,所以
.兩式相減,得
,② 因為
的斜率不為0,所以
,將②代①,得
.③
因直線經(jīng)過
,設(shè)直線
的方程為
,
由消去
,得
,
于是有,代入③得
,解得
,或
.
故所求直線的方程為
或
,即
.或
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,AD⊥PD,點F為棱PD的中點.
(1)在棱BC上是否存在一點E,使得CF∥平面PAE,并說明理由;
(2)若AC⊥PB,二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時,求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若是
的導函數(shù),討論
的單調(diào)性;
(2)若(
是自然對數(shù)的底數(shù)),求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱錐S一ABC中,△ABC與△SBC都是邊長為1的正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小為,若S,A,B,C四點都在球O的表面上,則球O的表面積為( )
A.πB.
πC.
πD.3π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,組合體由半個圓錐和一個三棱錐
構(gòu)成,其中
是圓錐
底面圓心,
是圓弧
上一點,滿足
是銳角,
.
(1)在平面內(nèi)過點
作
平面
交
于點
,并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)在(1)中,若是
中點,且
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某次考試之后,班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本,他們的數(shù)學、物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表,對應(yīng)散點圖如圖所示:
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學成績 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理成績 | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論:
①根據(jù)散點圖,可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系;
②根據(jù)散點圖,可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系;
③從全班隨機抽取2名同學(記為甲、乙),若甲同學的數(shù)學成績?yōu)?/span>80分,乙同學的數(shù)學成績?yōu)?/span>60分,則可以判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高;
④從全班隨機抽取2名同學(記為甲、乙),若甲同學的數(shù)學成績?yōu)?/span>80分,乙同學的數(shù)學成績?yōu)?/span>60分,則不能判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高;
其中正確的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎期間某商場開通三種平臺銷售商品,收集一月內(nèi)的數(shù)據(jù)如圖1;為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度,該商場用分層抽樣的方法抽取4%的顧客進行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是( )
A.樣本容量為240
B.若樣本中對平臺三滿意的人數(shù)為40,則
C.總體中對平臺二滿意的消費者人數(shù)約為300
D.樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為24人
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線L的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線L的普通方程;
(2)設(shè)點P(m,0),若直線L與曲線C交于A,B兩點,且|PA||PB|=1,求實數(shù)m的值.
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