Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=4^x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，都有1≤g（x）≤3成立，且當(dāng)x∈[0，1]，g（x）=x²+m（1-x）+1（m＞0）．試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)給出的新定義，當(dāng)f（x）=4^x時(shí)，定義中的等式化為16^a=b，顯然使該式成立的數(shù)對(duì)存在，從而說(shuō)明函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”；
（2）由函數(shù)g（x）是“（1，4）型函數(shù)”，得到g（1+x）g（1-x）=4，變形后得到，若x∈[1，2]，則2-x∈[0，1]，由函數(shù)g（x）在[0，1]上的值域即可得到函數(shù)在[1，2]上的值域，而函數(shù)g（x）在[0，1]上的解析式已給出，利用分類(lèi)討論求出g（x）在[0，1]上的治愈，取并集后結(jié)合1≤g（x）≤3求解m的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=4^x是“（a，b）型函數(shù)”．
因?yàn)橛蒮（a+x）•f（a-x）=b，得4^a+x•4^a-x=16^a=b，所以存在這樣的實(shí)數(shù)對(duì)，如a=1，b=16．
（2）由題意得，g（1+x）g（1-x）=4，所以當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]時(shí)，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1＞0，且其對(duì)稱(chēng)軸方程為，
①當(dāng)，即m＞2時(shí)，g（x）在[0，1]上的值域?yàn)閇g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103951814942681/SYS201311031039518149426018_DA/4.png">，
由題意得，此時(shí)無(wú)解．
②當(dāng)，即1≤m≤2時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103951814942681/SYS201311031039518149426018_DA/7.png">，即，
所以則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103951814942681/SYS201311031039518149426018_DA/9.png">，
則由題意得且，解得1≤m≤2．
③當(dāng)，即0＜m≤1時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103951814942681/SYS201311031039518149426018_DA/13.png">，即，
則g（x）在[0，2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103951814942681/SYS201311031039518149426018_DA/15.png">，
=，
則，解得：．
綜上所述，所求m的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，考查了分類(lèi)討論得數(shù)學(xué)思想，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)（2）中函數(shù)g（x）的值域的求法，屬中檔題．