如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處,AB=20km,BC=10km。為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界),且與A、B等距離的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO,設(shè)排污管道的總長度為ykm,
(Ⅰ)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系:
(ⅰ)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示為θ的函數(shù);
(ⅱ)設(shè)PO=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數(shù)關(guān)系,確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.
解:(Ⅰ)(ⅰ)如圖,延長PO交AB于點Q,
由題設(shè)可知,AO=BO,PO=10-OQ,
在Rt△AQO中,
所以,,
又易知
故y用θ表示的函數(shù)為。
(ⅱ)由題設(shè)可知,在Rt△AQO中,
,顯然0≤x≤10,
所以y用x表示的函數(shù)為。
(Ⅱ)選用(Ⅰ)中的函數(shù)關(guān)系,
來確定符合要求的污水處理廠的位置.
因為,
所以,
由y′=0得,
,故,
時,y′<0;當時,y′>0,
所以函數(shù)y在時取得極小值,這個極小值就是函數(shù)y在上的最小值,
時,。
因此,當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B兩點的距離均為時, 鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.
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精英家教網(wǎng)如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(Ⅰ)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

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如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的兩個頂點A,B及CD的中點P處.AB=20km,BC=10km.為了處理這三家工廠的污水,現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距的一點O處,建造一個污水處理廠,并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短.

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(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
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(i)設(shè)∠BAO=θ(rad),將y表示成θ的函數(shù);
(ii)設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù);
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