Question

已知數(shù)列{a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試求S_n的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等比數(shù)列的公比為q，由a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列，得2a₃=a₁+a₂，由通項公式可得q的方程，從而可求q，通項a_n；
（2）由等比數(shù)列求和公式可得S_n，分n為奇數(shù)、偶數(shù)可得S_n的范圍，從而可得結(jié)果；

解答： 解：（1）設等比數(shù)列的公比為q，
∵a₁，a₃，a₂成等差數(shù)列，
∴2a₃=a₁+a₂，又a₁=1，
∴2×1×q²=1+1×q，解得q=-

1

2

，或q=1（舍）．
∴an=(-

1

2

)n-1．
（2）由等比數(shù)列求和得，S_n=

1×[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
當n為奇數(shù)時，Sn=

2

3

[1+(

1

2

)n]≤

2

3

(1+

1

2

)=1；
當n為偶數(shù)時，Sn=

2

3

[1-(

1

2

)n]＜

2

3

．
∴S_n的最大值為1．

點評：該題考查等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查分類討論思想，屬中檔題．