Question

設a，b∈R，且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．
（1）求b的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

解（1）f（x）=lg（-b＜x＜b）是奇函數(shù)等價于：
對任意x∈（-b，b）都有
①式即為，由此可得，
也即a²x²=4x²，此式對任意x∈（-b，b）都成立相當于a²=4，
因為a≠2，所以a=-2，
代入②式，得＞0，即-＜x＜，
此式對任意x∈（-b，b）都成立相當于
-≤-b＜b≤，
所以b的取值范圍是（0，]．
（2）設任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，
由b∈（0，]，得-≤-b＜x₁＜x₂＜b≤，
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
從而f（x₂）-f（x₁）=
=
因此f（x）在（-b，b）內是減函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）是奇函數(shù)，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系數(shù)法求得a；同時函數(shù)要有意義，即，x∈（-b，b）上恒成立，可解得結果．
（2）選用定義法求解，先任意取兩個變量且界定大小，再作差變形看符號．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，要注意定義域優(yōu)先考慮原則，還考查了用定義法證明函數(shù)的單調性，要注意作差時的變形要到位，要用上兩個變量的大小關系．