Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）在（1，）處的切線方程；
（2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．
①討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
②若對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有＞-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴f^′（1）=0．
∴f（x）在（1，）處的切線方程為：；
（2）①∵h(yuǎn)（x）=f（x）+ag（x）=，（x＞0），a＞1．
∴=，
1° 當(dāng)a-1=1，即a=2時(shí)，≥0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
2°當(dāng)a-1＜1時(shí)，又a＞1，即1＜a＜2時(shí)，
∵函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，1）上，h^′（x）＜0；在區(qū)間（0，a-1）及（1，+∞）上，h^′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（a-1，1）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，a-1）及（1，+∞）上單調(diào)遞增．
3°當(dāng)a-1＞1，即 a＞2時(shí)，同理可得h（x）在區(qū)間（1，a-1）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，1）及（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
②不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則，得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．
令M（x）=h（x）+x=，
則M（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
于是=≥0在（0，+∞）上恒成立．
即R（x）=x²-（a-1）x+（a-1）≥0在（0，+∞）上恒成立．
∵a＞1，∴R（0）=a-1＞0，對(duì)稱軸．
因此必須要求△=（a-1）²-4（a-1）≤0，又a＞1，解得1＜a≤5．
分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再計(jì)算f^′（1），即為切線的斜率，進(jìn)而得出切線的方程；
（2）①先在函數(shù)h（x）的定義域內(nèi)對(duì)h（x）求導(dǎo)，根據(jù)h^′（x）=0的根的大小關(guān)系，再對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
②不妨設(shè)x₁＜x₂，則問題“對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有＞-1，”?M（x）=h（x）+x在（0，+∞）上單調(diào)遞增?M^′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立．
點(diǎn)評(píng)：充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及解決函數(shù)的單調(diào)性和正確的進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．